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La activacion del conocimiento real en la resolucion de problemas. Un estudio evolutivo sobre los problemas no-rutinario de adicion

Dissertation
Author: Laura Jimenez Marquez
Abstract:
The aim of the present research was to analyze the nature of children's difficulties in solving non-routine problems. According to Reusser and Stebler (1997), children have development some incorrect beliefs about how they have to solve math word-problems. These beliefs seem to be responsible of the lack of realism in children's responses. The participants were 22 second-graders and 22 third-graders from a public school. They were individually asked to solve non-routine addition problems involving different Semantic Structures (Change vs. Comparison) and different Kinds of Information in the Statement (Unsolvable vs. Multiple Solutions vs. Irrelevant Information vs. Solution into the Statement). A month later, all students were evaluated in another Context, which they were asked to correct others children's responses. The aim was determinate whether the success or failure could be depending on the kind of Evaluation (Solving problems vs. Correcting mistakes). Our data showed, firstly, that difficulty level of the problems was related to each kind of numerical information included in the Statement which is against to different children's beliefs. In fact, Multiple Solution situations were the most difficult because childrens was not able to get a only one and precise numerical answer. In comparison, problems including Irrelevant Information problems or Solution in the Statement were easier because the correct answers could be obtained by omitting the non-significative Information. Secondly, all non-routine problems were significative more difficult in Comparison than in Change. Finally, the percentages of correct responses were not influence by the Context of Evaluation or the Group of Age. In other words, incorrect and stereotyped procedures were activated in children of all age, independently of they were solving the problems or correcting other children's mistakes.

Laura Jiménez Márquez

LA ACTIVACIÓN DEL CONOCIMIENTO REAL EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. UN ESTUDIO EVOLUTIVO SOBRE LOS PROBLEMAS NO-RUTINARIO DE ADICIÓN

I.S.B.N. Ediciones de la UCLM 978-84-8427-794-1

Cuenca, 2010

UMI Number: 3428303

All rights reserved

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In the unlikely event that the author did not send a complete manuscript and there are missing pages, these will be noted. Also, if material had to be removed, a note will indicate the deletion.

UMI 3428303 Copyright 2 010 by Pro Quest LLC. All rights reserved. This edition of the work is protected against unauthorized copying under Title 17, United States Code.

ProQuest LLC 789 East Eisenhower Parkway P.O. Box 1346 Ann Arbor, MI 48106-1346

FACULTAD DE PSICOLOGÍA D PTO. DE PSICOLOGÍA EVOLUTIVA Y DE LA EDUCACIÓN

LA ACTIVACIÓN DEL CONOCIMIENTO REAL EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. UN ESTUDIO EVOLUTIVO SOBRE LOS PROBLEMAS N O-RUTINARIOS DE ADICIÓN.

TESIS DOCTORAL

A UTORA: LAURA JIMÉNEZ MÁRQUEZ D IRECTORA: PURIFICACIÓN RODRÍGUEZ MARCOS

A MIS PADRES, GENEROSO Y SOLEDAD

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AGRADECIMIENTOS

En primer lugar, quiero expresar mi más sincero agradecimiento a la directora de esta Tesis Doctoral, Purificación Rodríguez Marcos. Aún recuerdo perfectamente el día en que Purificación consiguió entusiasmarme en 3º de carrera con sus trabajos sobre el pensamiento matemático en las clases de Desarrollo Cognitivo. Fue en ese momento cuando le “comuniqué” que realizaría mi tesis doctoral con ella como directora y Purificación no sólo creyó en mí, sino que me dio la oportunidad de incorporarme a su equipo. Casi diez años después de aquel día, le doy las gracias por haber confiado en mí durante tanto tiempo, por toda la ayuda que siempre me ha prestado, por la implicación con la que ha dirigido este trabajo y por el apoyo emocional que me ha brindado. A ella le debo que ese sueño de hace 10 años sea hoy un hecho. En segundo lugar, estoy convencida de que esta tesis doctoral no hubiera sido posible sin la ayuda prestada por Mª Oliva Lago. Especialmente, tengo que agradecerle todas las horas que siempre me ha dedicado de forma desinteresada, la manera en la que me ha enseñado, casi sin darme cuenta, muchas de las herramientas que han sido necesarias para elaborar esta tesis, su disposición para discutir conmigo cualquier aspecto que me ha inquietado y hacerme ver que las cosas son mucho más sencillas cuando se sabe mirarlas y, sobre todo, por haber podido contar con ella siempre que la he necesitado. A Ileana Enesco también le debo mucho y le doy las gracias por toda la confianza que ha depositado en mí desde que nos encontramos en su curso de doctorado. Por muchos motivos, estoy convencida de que ha sido una de las “responsables” de que este trabajo dejara de ser una aspiración.

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No puedo dejar de mencionar la ayuda prestada por Cristina Dopico en la revisión final del manuscrito. En esa última fase del trabajo, esos pequeños gestos suponen una gran contribución. Silvia Guerrero ha sido la persona que ha estado a mi lado desde el comienzo y junto con la que he recorrido todo este camino, los cursos de doctorado, el examen para optar al Diploma de Estudios Avanzados y la que fue mi primera vez en una Universidad extranjera. Dar ese paso con ella lo hizo todo mucho más sencillo. Al resto de las chicas de “nuestro grupo de investigación”, Irene Solbes, Carolina Callejas y Ana Escudero, les agradezco todo el apoyo, el cariño y las palabras de ánimo que he recibido. También le doy las gracias a “nuestro invitado especial” de todos los lunes y los miércoles, Juan Ignacio Aragonés, no sólo por las bromas y las anécdotas que en muchas ocasiones me han permitido desconectar del trabajo y las preocupaciones, sino también por sus reflexiones sobre la investigación y la vida académica que siempre me han parecido tan sorprendentes y acertadas. No puedo dejar de agradecer a Richard Cowan que me acogiera en la Universidad de Londres de forma desinteresada y dedicara muchas horas de su tiempo a la discusión de este trabajo conmigo. A pesar de la distancia, ha seguido disponible, al otro lado de correo electrónico, para ofrecerme su ayuda y explicarme conceptos estadísticos. De la misma manera, no puedo dejar de mencionar a Terezinha Nunes por abrirme las puertas de la Universidad de Oxford. Le agradezco igualmente al Colegio Público Pablo Sorozábal de Móstoles las facilidades recibidas para la recogida de los datos: al equipo directivo por haberme cedido una parte de las instalaciones para realizar las entrevistas, a los

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profesores por permitirme interrumpir sus clases y robarles a sus alumnos en varias ocasiones y, especialmente, tengo que darles las gracias a todos los niños que participaron de forma voluntaria, renunciado en ocasiones a su tiempo de ocio para venir conmigo a resolver problemas de “mates”. Sin la beca que recibí del Ministerio de Educación y Ciencia hubiera sido imposible centrar todo mi tiempo y todo mi esfuerzo en realizar este trabajo. Por último, les doy las gracias a mis padres y a mi hermana por haberme apoyado en los momentos de flaqueza.

Índice

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INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………...…….11 I. MARCO TEÓRICO ……..……………………………………………………………..17 Capítulo 1. El Estudio de los Problemas Rutinarios de Adición.. …………………17 1. Los problemas verbales de adición... …………………………………….19 2. Estrategias de resolución de problemas aditivos.. ..……………………29 2.1. Las estrategias correctas………………………….……………………29 (1) Las estrategias de Representación Directa……………………….29 (2) Estrategias de Conteo……………………………………………….30 (3) Estrategias memorísticas……………………………………………32 2.2. Las estrategias incorrectas…………………………………………….33 (1) Los errores en los algoritmos……………………………………….33 (2) Los errores en los problemas verbales.……………………………34 Capítulo 2. El Estudio de los Problemas No- Rutinarios.…………………………39 1. Los problemas absurdos en la vida real……..…………………………..43 2. Los problemas que describen situaciones basadas en la vida real ……………………………………………………………………………..53 2.1. LOS estudios pioneros…………………………………………………..54 2.2. Los trabajos de réplica………………………………………………….66 2.3. ¿Dónde se encuentra origen del fracaso en los problemas no- rutinarios? El contrato didáctico implícito…………………………………77 3. Los problemas de división con resto: el problema de autobús………85 4. Algunas críticas y conclusiones generales al estudio de los problemas no-rutinarios …….…………………………………………………………...99

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II. MARCO EXPERIMENTAL…………………………………………………………105 1. Objetivos y Planteamiento de Hipótesis.. ………………………………..105 2. Método …………………………………………………………………………111 3. Análisis y Discusión de los Resultados …………………………………..121 3.1 Análisis Cuantitativo de los datos………………………………………..121 3.2 Análisis Cualitativo de los datos………………………………………….131 (1) El Tipo de Problema según la Información ofrecida en el Enunciado……………………………………………………………………132 (2) La Estructura Semántica del problema………………………………141 (3) El Contexto de Evaluación……………………………………………..147 (4) El Grupo………………………………………………………………….151

III. CONCLUSIONES …………………………………………………………………...155 IV. BIBLIOGRAFÍA ……………………………………………………………………..165 ANEXOS ………….………………………………………………………………………191 1. Anexo de Cuadros del Marco Teórico… …………………………………191 2. Anexo de Tablas del Análisis Cualitativo de los Datos ………………..195

Introducción

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INTRODUCCIÓN

Desafortunadamente, hablar de las dificultades de los niños en matemáticas se ha convertido hoy en día en algo habitual. Además, dichas dificultades se han confirmado reiteradamente en las distintas evaluaciones nacionales e internacionales. Por ese motivo, en algunos países se han desarrollado programas de intervención como el denominado CGI (Instrucción Guiada Cognitivamente) (p.e., Carpenter et al., 1999; Carpenter y Peterson, 1988; Carpenter, Fennema, Peterson, Chiang y Loef, 1989; Fennema, Carpenter y Lamon, 1991; Fennema et al., 1996; Peterson, Carpenter y Fennema, 1989), el programa elaborado por el grupo de Cognición y Tecnología Vanderbilt (Bransford et al., 1990; CGT, 1991, 1992, 1993) o el movimiento conocido como Educación Matemáticas Realistas (RME) iniciado en Holanda. Uno de los principios básicos que se encuentran en la base de todos estos programas es la defensa de que la enseñaza de las matemáticas debe estar basada en la comprensión y solución de problemas verbales, ya que éstos constituyen contextos significativos para los niños. Además, se insiste en que estos problemas no deben constituir una mera aplicación de un procedimiento algorítmico de solución, sino que es necesario un proceso de reflexión previo. No obstante, como señala Palm (2006), no podemos olvidar que existen importantes diferencias entre los problemas reales que suceden en entornos naturales y los que simulamos en el contexto escolar. Algunas de estas diferencias harían referencia a: a) Las propias situaciones que los problemas describen, ya que es importante que sean eventos que hayan sucedido en la vida de los niños o que éstos conozcan

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bien. Por ejemplo, en el problema “Este ascensor puede transportar a 14 personas”. Por la mañana, 269 personas desean utilizarlo para subir. ¿Cuántas veces debe el ascensor subir y bajar?”, la historia descrita hace referencia a un fenómeno habitual de la vida diaria, esto es, un número de personas que espera su turno para coger el ascensor. b) La pregunta final a la que deben dar respuesta ha de indicar claramente cuál es el problema a resolver. Siguiendo con el ejemplo anterior, en el problema se plantea claramente que el objetivo es conocer el número de viajes necesario para que todas las personas que esperan puedan acceder a sus puestos de trabajo. c) La información o los datos que figuran en el problema deben ser igualmente representativos. A pesar de que el denominado problema del ascensor ha sido incluido en el Test Nacional Piloto sobre Matemáticas en Gran Bretaña (SEAC, 1992), como un ejemplo representativo de problema realista o no-rutinario, no parece muy plausible que un edificio sólo tenga un ascensor si en hora punta lo utilizan 269 personas. Muchos de los edificios actuales tienen dos ascensores para un número menor de vecinos. En este sentido, podemos afirmar que la información que figura en el problema no es representativa. d) Es igualmente importante que no olvidemos que existen múltiples estrategias para solucionar un problema y no sólo los algoritmos. En la vida real los niños no siempre recurren a las operaciones aritméticas, sino que suelen emplear estrategias que ellos mismos han desarrollado. Además, tampoco podemos presuponer que hay una única respuesta realista al problema. Así, la respuesta realista que en el SEAC esperaban encontrar en el problema del ascensor era que éste tendría que subir y bajar 20 veces, ya que si la respuesta era 19 no era

Introducción

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suficiente para trasladar a todas las personas. Sin embargo, de acuerdo con Cooper (1998) algunos niños podrían asumir correctamente que muchas personas acabarían cansándose de esperar y recurrirían a las escaleras y esto es, precisamente, lo que solemos hacer en la vida real. e) La forma de presentación del problema debe ser igualmente tenida en cuenta. En la vida real los problemas se transmiten mediante comunicación oral, mientras que en la escuela se presentan en un formato escrito y, a veces, se acompañan de gráficos o tablas que son difíciles de interpretar. f) Las circunstancias en la que los niños suelen resolver los problemas también son diferentes. En la vida real es posible acudir a otra persona, discutir con ella acerca de cómo solucionar el problema o pedirle ayuda, pero en las tareas escolares se suele trabajar de forma individual en un tiempo predeterminado previamente por el profesor. Aunque existen limitaciones a la hora emular todos los aspectos que suceden en la vida real en los problemas verbales, esto no justifica que en el contexto escolar sigamos sometiendo a los escolares a la misma “dieta” de problemas que se resuelven simplemente aplicando una operación aritmética (i.e., problemas rutinarios), sino que debemos plantear problemas que constituyan verdaderos desafíos (i.e., problemas no-rutinarios) y que no se resuelvan simplemente aplicando la operación aritmética más obvia. En esta línea han sido ampliamente documentadas las dificultades que los alumnos encuentran cuando tienen que resolver estos tipos de problemas y se han propuesto dos tipos de explicaciones. Desde la primera se afirma que los niños no son capaces de aplicar el conocimiento que poseen sobre el mundo real a la resolución de problemas matemáticos (p.e., Caldwell, 1995; Greer, 1993; Hidalgo, 1997; Verschaffel, De

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Corte y Lasure, 1994, 1999). La segunda alude a que las respuestas erróneas se originan en el ámbito escolar debido a la exposición repetida a problemas estereotipados o rutinarios (p.e., Brousseau, 1984; Reusser y Stebler, 1997; Schoenfeld, 1991). En otras palabras, la tarea de los alumnos en la escuela suele residir en descubrir la operación aritmética implicada y realizar correctamente los cálculos, por lo que han desarrollado una serie de creencias incorrectas relacionadas con el hecho de que esto es siempre lo más importante en el proceso de resolución. En este sentido y de acuerdo con Cooper (1994, 1998), las respuestas incorrectas de los niños en los problemas no-rutinarios no estarían exentas de realismo, sino que tendrían su origen en el propio proceso de adaptación del niño a la escuela. Desde nuestro punto de vista, estas dos propuestas no resultan irreconciliables, sino más bien complementarias, es decir, las creencias incorrectas de los niños les conducen a no aplicar su conocimiento del mundo real. Profundizar en este aspecto ha sido el objetivo de este estudio. Para ello, hemos intentado superar, por un lado, algunas de las limitaciones que hemos encontrado en los estudios previos sobre los problemas no-rutinarios y, por otro, estamos interesados en ofrecer explicaciones sobre el origen de los errores, con el ánimo de hacer propuestas educativas que ayuden a paliar esta situación. Para la presentación de este trabajo, hemos diferenciado cuatro grandes bloques: el marco teórico, el marco empírico, las conclusiones y las referencias bibliográficas. En el marco teórico se describen, en el capítulo primero, las investigaciones más relevantes que se han realizado sobre los problemas rutinarios de adición y, en el segundo capítulo, nos hacemos eco de los resultados referidos a los problemas no-rutinarios. En este último, se han diferenciado tres subapartados que aluden a los problemas irresolubles o absurdos, los que describen situaciones basadas en la vida real y, por último, los centrados en los problemas de división con

Introducción

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resto. A modo de recapitulación, y antes de exponer el trabajo empírico, se presentan algunas conclusiones generales y se resaltan algunas críticas de carácter metodológico que hemos intentado superar en este estudio. En el bloque correspondiente al marco experimental se plantean, en primer lugar, los objetivos y las hipótesis de trabajo. A continuación, se describe el método que hemos seguido para alcanzar dichos objetivos: los participantes del estudio, el material empleado y el procedimiento. Posteriormente, se ofrece el análisis y la discusión de los resultados, atendiendo no solamente a los aspectos cuantitativos, sino también a los cualitativos, con el objetivo de discernir el origen de las respuestas de los niños. A continuación, se exponen las conclusiones más relevantes del estudio, las limitaciones y perspectivas de futuro, así como algunas directrices educativas. En el último bloque, hemos recogido las referencias bibliográficas utilizadas para realizar este estudio.

I. Marco Teórico. El Estudio de los Problemas Rutinarios

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I. MARCO TEÓRICO

CAPÍTULO 1. EL ESTUDIO DE LOS PROBLEMAS RUTINARIOS DE ADICIÓN La inclusión de problemas verbales en el aula para trabajar las matemáticas ha estado motivada por la necesidad de desarrollar en los alumnos las habilidades necesarias para resolver de forma efectiva situaciones de la vida diaria (p.e., Burkhardt, 1994). Así, los problemas escolares cumplen dos objetivos esenciales: Proporcionar a los estudiantes la posibilidad de resolver problemas de la vida diaria en las que son imprescindibles el uso de las matemáticas aprendidas en la escuela (Thorndike, 1922) Motivar a los estudiantes mostrándoles que las matemáticas son realmente útiles. La descripción de situaciones que implican diversos conocimientos matemáticos se representa en la escuela en forma de problemas verbales. Estos constituyen el contexto significativo dentro del cuál debería enmarcarse la enseñanza de los procedimientos. No obstante, la resolución de problemas suele estar relegada a una mera función de aplicación de los algoritmos recién aprendidos. En lo que sigue, profundizaremos en el estudio de los problemas verbales rutinarios de adición y en las estrategias de resolución correctas e incorrectas empleadas por los niños.

I. Marco Teórico. El Estudio de los Problemas Rutinarios

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1. LOS PROBLEMAS VERBALES DE ADICIÓN En general, los problemas verbales de adición suelen estar compuestos de dos partes, una informativa en la que aparecen los dos datos numéricos y la pregunta que alude a la cantidad desconocida (i.e., a+b=c). Sin embargo, pueden tomar distintas formas en función del lugar que ocupe la incógnita o cantidad desconocida: en el resultado (i.e., a+b = ?), en el primer sumando (i.e., ?+b = c) o en el segundo sumando (i.e., a+? = c). Numerosas investigaciones han comprobado que algunos problemas verbales que se representan con los mismos algoritmos (p.e., adición, sustracción...) y que incluyen las mismas cantidades no tienen el mismo nivel de dificultad para los niños, hecho que no puede relacionarse con sus habilidades matemáticas, sino con características inherentes a los propios problemas (p.e., Aguilar y Navarro, 2000; Bermejo, Lago y Rodríguez, 1998; Christou y Philippou, 1998; Lago, Rodríguez, Zamora y Madroño, 1999; Riley y Greeno, 1988). Todo ello ha derivado en un amplio grupo de investigaciones que se han centrado en estudiar los diferentes aspectos que estarían contribuyendo, en mayor o menor medida, a explicar el grado de dificultad de los mismos. En breve, podríamos resumirlas en las siguientes: 1) E L LUGAR DE LA INCÓGNITA Como hemos adelantado a modo de ejemplo unas líneas más arriba, el lugar en el que se ubica la cantidad desconocida en el problema afecta al grado de dificultad. Así, los niños suelen obtener mejores resultados si la incógnita está situada en el resultado que cuando se desconoce uno de los sumandos,

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especialmente si éste es el primero (p.e., Bermejo y Rodríguez, 1990a; Carpenter, 1986). 2) L A CONCEPCIÓN UNITARIA / BINARIA DE LA ADICIÓN La concepción unitaria supone que el conjunto inicial sufre un cambio de estado al incrementarse cuando añadimos un segundo conjunto (Fuson, 1988; Weawer, 1995). Esta concepción impide a los niños resolver con la misma facilidad expresiones tales como 1+N y N+1. La concepción binaria implica la combinación de dos conjuntos disjuntos a los que se les asigna el mismo papel, sin que se produzca cambio alguno en ellos (Fuson, 1988). Tendremos ocasión de recuperar estos conceptos cuando tratemos las clasificaciones de los problemas verbales atendiendo a la estructura semántica. 3) V ARIABLES SINTÁCTICAS También se han analizado variables de naturaleza lingüística tales como el número de palabras del texto, la secuencia de la información o la presencia o ausencia de palabras clave (p.e., añadir, dar, más…) que pueden inducir a la operación de sumar (Carpenter, 1985; De Corte y Verschaffel, 1985, 1987; Nesher, 1982). 4) L A ESTRUCTURA SEMÁNTICA Actualmente, la mayoría de los autores están de acuerdo en clasificar los problemas verbales en función de su estructura semántica, ya que se ha comprobado que estas variables son las que afectan en mayor medida a la dificultad percibida por los niños (Bermejo, Lago, Rodríguez, Cañizares, Dopico y Moran, 1997; Carpenter y Moser, 1982, 1983; De Corte y Verschaffel, 1985; Heller y Greeno, 1978; Kintsch y Greeno, 1985; Morales, Shute y Pellegrino,

I. Marco Teórico. El Estudio de los Problemas Rutinarios

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1985; Nesher y Greeno, 1981; Riley, Greeno y Heller, 1983; Vergnaud, 1982; Wolters, 1983). La denominación y el número de categorías que se han empleado para definir las relaciones semánticas ha ido variando a lo largo del tiempo (para una revisión de las mismas ver Tabla 1, p. 24), aunque actualmente la mayoría de los autores han optado por mantener la nomenclatura inicial de Heller y Greeno (1978) en la que se diferencian tres categorías de problemas: cambio, combinación y comparación (Bermejo et al., 1998; Carpenter y Moser, 1996, 1999; Fuson, 1992; Nesher, Greeno y Riley, 1982; Vergnaud, 1982): a) Cambio. Los problemas de cambio describen situaciones dinámicas en las que se introducen modificaciones en la cantidad inicial de un poseedor (i.e., se describe la primera cantidad, una acción que produce un cambio y un estado final). En palabras de Fuson (1982), se corresponden con una concepción unitaria de la suma porque hay un poseedor que incrementa un conjunto inicial. Dependiendo de cuál sea el término desconocido (i.e., la cantidad inicial, la magnitud de cambio o el resultado) podemos diferenciar tres tipos de problemas (ver Cuadro 1. p. 23). b) Combinación. Los problemas de combinación representan situaciones estáticas, ya que incluyen dos cantidades disjuntas que se combinan para dar lugar a una tercera. Estos problemas se han denominado también parte-parte-todo porque las partes pueden unirse para formar “el todo” y el todo puede descomponerse en partes. Según Fuson, representan una concepción binaria de la adición por la presencia de dos conjuntos que se combinan entre sí. La información

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desconocida puede estar situada en uno de los subconjuntos o el resultado (ver Cuadro 1, p. 23). c) Comparación. Como en los problemas de combinación, se presenta la relación entre dos cantidades disjuntas (i.e., relaciones estáticas), bien para determinar la diferencia entre ellas, bien para averiguar una de las cantidades conociendo la otra y la diferencia entre ellas. Las cantidades se relacionan mediante la comparación (“más que”). Así, una de las cantidades cumple la función de referente y la otra de comparado (ver Cuadro 1, p. 23). d) Problemas de Igualación. Por último, tras el trabajo de Carpenter y Moser (1981), algunos autores han aceptado una categoría adicional que contiene elementos de los problemas de comparación y de cambio (Bermejo et al., 1998; Carpenter y Moser, 1982, 1983; Fuson, 1992; Riley, 1981; Riley et al., 1983). En los problemas de igualación se produce una comparación entre dos conjuntos disjuntos y una acción implícita que ha de aplicarse a uno de los subconjuntos para igualarlo al otro (ver Cuadro 1, p. 23).

I. Marco Teórico. El Estudio de los Problemas Rutinarios

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C uadro 1. Clasificación de los problemas verbales de estructuras aditivas

PROBLEMAS DE CAMBIO

Carlos tenía 4 lápices e Irene le dio 3. ¿Cuántos lápices tiene ahora Carlos? (a + b = ?) Carlos tenía 3 lápices e Irene le dio algunos. Si ahora Carlos tiene 7 lápices, ¿cuántos lápices le dio Irene? (a + ? = c) Carlos tenía algunos lápices e Irene le dio 3. Si ahora Carlos tiene 7 lápices, ¿cuántos lápices tenía al principio? (? + b = c)

PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

Teresa tiene 4 lápices e Ignacio tiene 3 lápices. ¿Cuántos lápices tienen entre los dos? (a + b = ?) Teresa e Ignacio tienen 7 lápices entre los dos. Si Teresa tiene 3 lápices, ¿cuántos lápices tiene Ignacio? (a + ? = c) Teresa e Ignacio tienen 7 lápices entre los dos. Si Ignacio tiene 4 lápices, ¿cuántos lápices tiene Teresa? (? + b = c)

PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

Teresa tiene 4 lápices e Ignacio tiene 3. ¿Cuántos lápices tiene Teresa más que Ignacio? (Diferencia desconocida) Ignacio tiene 3 lápices y Teresa tiene 1 lápiz más que Ignacio. ¿Cuántos lápices tiene Teresa? (Comparación desconocida) Teresa tiene 4 lápices. Si tiene 1 lápiz más que Ignacio. ¿Cuántos lápices tiene Ignacio? (Referente desconocido)

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

Teresa tiene 4 lápices e Ignacio tiene 3. ¿Cuántos lápices necesita Ignacio para tener los mismos que Teresa? (Igualación desconocida) Ignacio tiene 3 lápices. Si le dan un lápiz tendrá los mismos que Teresa. ¿Cuántos lápices tiene Teresa? (Igualar conjunto conocido) Teresa tiene 4 lápices. Si a Ignacio le diesen 1 lápiz tendría los mismos que Teresa. ¿Cuántos lápices tiene Ignacio? (Igualar conjunto desconocido)

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Tabla 1 Clasificaciones de los problemas verbales de adición

Heller y Greeno (1978) Cambio Combinación Comparación

Nesher, Greeno y Riley (1982) Cambio Combinación Comparación

Carpenter y Moser (1982) Cambio- unión

Cambio – Separación Parte-parte- todo. Comparación Igualación.

Vergnaud (1982) Transformación que une dos medi- das. Composición de dos transformacio- nes. Transformación que une dos rela- ciones estáticas Composición de medida. Relación estática que une dos medidas.

Composición de relaciones estáticas. Carpenter y Moser (1983) Cambio Combinación Comparación Igualación

Fuson (1992) Activa con operación unitaria Activa con operación binaria.

Estática con opera- ción bina- ria . Estática con operación binaria Activa con operación binaria.

Carpenter y Moser (1996, 1999) -Unión. - Separación. Parte – parte - todo. Comparación

Bermejo et al. (1998) Cambio Combinación Comparación Igualación

I. Marco Teórico. El Estudio de los Problemas Rutinarios

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Los resultados de las investigaciones que se han centrado en el estudio de la estructura semántica han aceptado, en términos generales, un orden de dificultad creciente: cambio, combinación, igualación y comparación. Así, los problemas más sencillos de resolver son los de cambio, debido a que las situaciones que describen conllevan acción y existe un único poseedor que aumenta o decrementa su cantidad inicial (p.e., Bermejo, Lago y Rodríguez, 1994; Carpenter, Fennema, Franke, Levi y Empson, 1999; De Corte y Verschaffel, 1987; Lago, Rodríguez y Caballero, 1999). En contraposición, los problemas que representan relaciones estáticas y más de un poseedor (i.e., combinación y comparación) resultarían más difíciles. Por último, los problemas de igualación, dado que poseen características de ambos problemas, se situarían en un nivel de dificultad intermedio (p.e., Aguilar, Alcalde, Marchena y Navarro, 1998; Bermejo y Rodríguez, 1987b). Sin embargo, esta jerarquía no debe considerarse de forma rígida y estática, ya que existen otros factores adicionales como, por ejemplo, el lugar que ocupa la incógnita, la presencia o no de ayudas y el tamaño de las cantidades que afectan a los niveles de ejecución y que deben considerarse de forma conjunta con la estructura del problema. En primer lugar, nos centraremos el lugar que ocupa la incógnita en el enunciado. En un trabajo realizado por Bermejo et al. (1998) presentaron a niños de E.I., 1º de E.P. y 2º de E.P. problemas verbales de adición y substracción, en los que variaron la estructura semántica (i.e., cambio, combinación, igualación y comparación) y la incógnita del problema (i.e., primer término, segundo término y resultado). Los resultados mostraron, entre otras cosas, que:

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- El rendimiento se encontraba mediatizado por la influencia de ambas variables. Por ejemplo, los problemas de cambio con la incógnita situada en el conjunto de cambio resultaban más sencillos que los de comparación en los que se desconocía el conjunto de comparación, lo que concuerda con los datos encontrados en otras investigaciones anteriores (p.e., Bermejo y Rodríguez, 1990a; Carpenter y Moser, 1984; De Corte y Verschaffel, 1987). - El hecho de que un problema implicara acción no garantizaba, en todos los casos, un nivel de rendimiento superior en los niños. Prueba de ello es que los problemas de combinación con la incógnita en el resultado fueron los más sencillos (más aún que los de cambio). - La ejecución correcta en un tipo de estructura no aseguraba el éxito posterior del alumno cuando se variaba la situación de la incógnita.

Estos dos últimos hallazgos confirman que la noción de cambio no se adquiere en primer lugar en todas las circunstancias, sino que se desarrolla en paralelo junto con las de comparación, combinación e igualación. En segundo lugar, haremos una breve mención a otras variables que han sido también estudiadas. Así, la presencia de ayudas (i.e., dibujos o materiales que se puedan manipular) para representar los términos del problema (p.e., Bermejo y Rodríguez, 1987a; Carpenter, Ansell, Franke, Fennema y Weisbeck, 1993; Carpenter y Moser, 1982; Pepper y Hunting, 1998), el uso de cantidades pequeñas (p.e., Aguilar et al., 1998; Bermejo y Lago, 1988; Carpenter y Moser, 1982; Siegler y Robinson, 1982; Vergnaud 1991) y la formulación verbal de los problemas que consiste en explicitar las relaciones semánticas sin afectar a su estructura (p.e., De

I. Marco Teórico. El Estudio de los Problemas Rutinarios

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Corte, Verschaffel y De Win, 1985; Hudson, 1980) facilita notoriamente la comprensión y solución de estas tareas. Estas variables, por tanto, afectan igualmente a los niveles de ejecución encontrados en los niños, por lo que es necesario que sean controladas en el diseño de situaciones matemáticas. En conclusión, podemos afirmar que contamos con datos más que suficientes acerca de cómo deberían presentarse los problemas verbales en el aula. Así, es posible ir introduciendo a los alumnos problemas en los que se desarrollan distintas relaciones (i.e., dinámicas vs. estáticas). Incluso, los problemas de comparación pueden irse introduciendo tempranamente reformulando el enunciado de forma que la sentencia relacional más que sea más explicita y permitiendo ayudas u objetos que faciliten la representación inicial del problema. Asimismo, el nivel de dificultad de los mismos debería ir variándose progresivamente modificando, por ejemplo, el lugar que ocupa la incógnita y aumentando el tamaño de las cantidades. Por tanto, el objetivo de introducir una amplia variedad de situaciones iría encaminado a no formar expertos en un tipo concreto de problema. Diversos análisis que se han realizado sobre los tipos de problemas que aparecen en los libros de texto han comprobado que éstos aparecen agrupados según la última operación estudiada (Säljö y Wyndhamn, 1987; Schoenfeld, 1991; Sowder, 1988; Stern, 1992; Stigler, Fuson, Han y Kim, 1986) o, en ocasiones, aparece una segunda operación aritmética simple (De Corte y Verschaffel, 1985; Greer, 1997; Hernández, 2004; Reusser, 1988; Reusser y Stebler, 1997; Stigler et al., 1986; Verschaffel et al., 1994). Además, suelen estar presentes distintas palabras clave que provocan que el alumno detecte como llegar a la solución sin haber comprendido previamente el problema (ver p.e., Hegarty, Mayer y Monk, 1995;

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Nesher y Teubal, 1975; Verschaffel, De Corte y Pauwels, 1992). En definitiva, los problemas acaban empleándose como una ocasión más de practicar la última operación que hayan estudiado, cuando en realidad los niños disponen de diversas estrategias que van sustituyéndose paulatinamente hasta procedimientos más rápidos y económicos cognitivamente como son los algoritmos. Y, precisamente, este debería ser el objetivo de la enseñanza de las operaciones. No obstante, retomaremos estas y otras características de los problemas escolares cuando tratemos de explicar qué sucede cuando los alumnos tienen que resolver problemas no-rutinarios, esto es, atípicos en el contexto escolar y pasaremos a describir algunas de las estrategias de las que disponen los niños antes de la enseñanza formal.

I. Marco Teórico. El Estudio de los Problemas Rutinarios

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2. ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ADITIVOS El estudio de los procedimientos de resolución, correctos e incorrectos, resulta de gran importancia para conocer los procesos subyacentes a las ejecuciones correctas e incorrectas de los niños. Con este propósito, en los últimos años se han realizado una gran cantidad de estudios que han tenido por objeto el examen de las estrategias infantiles y su evolución (p.e., Beishuizen, Van Putten y Van Mulken, 1997; Bertelli, Joanni y Martlew, 1998; Blöte, Klein y Beishuizen, 2000; Caballero, 2005; Cobb, 1995; Deboys y Pitt, 1995; Lefevre, Sadesky y Bisanz, 1996; Lozano, 2001; Siegler y Stern, 1998; Thompson, 1999; Verschaffel, De Corte, Lamote y Dherdt, 1998). A lo largo de este apartado, vamos a centrarnos en describir los procedimientos correctos e incorrectos de resolución. 2.1. LAS ESTRATEGIAS CORRECTAS De acuerdo con la clasificación de Carpenter y Moser (1982) pueden distinguirse tres grandes bloques de procedimientos: (1) estrategias de representación directa, (2) estrategias de conteo y (3) hechos numéricos. 1) LAS ESTRATEGIAS DE REPRESENTACIÓN DIRECTA La característica principal de las estrategias de Representación Directa es el empleo de contadores físicos (p.e., objetos o los dedos de la mano) para representar cada uno de los términos del problema. En el caso de la adición, destaca el procedimiento de juntar todo, que sería el más elemental y se encuentra presente antes de que los niños hayan recibido instrucción formal (p.e., Bermejo y Rodríguez, 1987a; Caballero, 2005; Carpenter y Moser, 1984; Ginsburg y Rusell, 1981; Lago, 1992; Lindvall e Ibarra, 1980; Lozano, 2001; Resnick, 1983). Aún así, algunos niños continúan incluso utilizándola durante los primeros años de

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Abstract: The aim of the present research was to analyze the nature of children's difficulties in solving non-routine problems. According to Reusser and Stebler (1997), children have development some incorrect beliefs about how they have to solve math word-problems. These beliefs seem to be responsible of the lack of realism in children's responses. The participants were 22 second-graders and 22 third-graders from a public school. They were individually asked to solve non-routine addition problems involving different Semantic Structures (Change vs. Comparison) and different Kinds of Information in the Statement (Unsolvable vs. Multiple Solutions vs. Irrelevant Information vs. Solution into the Statement). A month later, all students were evaluated in another Context, which they were asked to correct others children's responses. The aim was determinate whether the success or failure could be depending on the kind of Evaluation (Solving problems vs. Correcting mistakes). Our data showed, firstly, that difficulty level of the problems was related to each kind of numerical information included in the Statement which is against to different children's beliefs. In fact, Multiple Solution situations were the most difficult because childrens was not able to get a only one and precise numerical answer. In comparison, problems including Irrelevant Information problems or Solution in the Statement were easier because the correct answers could be obtained by omitting the non-significative Information. Secondly, all non-routine problems were significative more difficult in Comparison than in Change. Finally, the percentages of correct responses were not influence by the Context of Evaluation or the Group of Age. In other words, incorrect and stereotyped procedures were activated in children of all age, independently of they were solving the problems or correcting other children's mistakes.